【摘　要】　本文通過GPS在滿足同步觀測極限條件下共天線零基線向量構成的同步網的試驗與分析，表明同步基線是線性無關的。同時利用網絡圖論理論，嚴密論證同步環是線性相關的，并提出星形樹——三角孔獨立同步環檢核新方法。

　　我國又一項跨世紀的宏偉工程——長江口深水航道治理工程新近開工。專家建議該工程的首級GPS整個控制網應進行同步測量，因此繼續深入探討GPS同步基線向量的線性無關性和同步環的線性相關性是必要的。

　　所謂同步基線，是指n臺接收機在大致相同的時間段內接收GPS衛星信號，經載波相位拍頻處理，解算出來的(1)/(2)(n2-n)條基線bi。這些基線相對于在不同時間段得到的異步基線而言，其相關特性當然要更明顯些，但決不能說同步基線就是線性相關的，而僅有其中(n-1)條才可稱“獨立基線”。嚴格地說，無論同步還是異步基線都具有既相關又獨立的二重屬性：一方面，由于GPS觀測對象都是遵循衛星軌道力學原理運動的相同有限的人造地球衛星，接收的是相同L載波的無線電信號，反映在基線向量之間必然存在相關性。另一方面，由于客觀世界復雜的非線性特征，各種誤差源細部的時空隨機過程是無法預測和窮盡認識的，如果依賴簡單的疊加原理即線性模型去詮釋上述相關屬性，只能得到線性無關的結論。

　　大量實踐表明，同步基線由于受各測站附近地物、地貌以及交通、通訊的限制，實難達到“絕對的同步”。并且受到衛星攝動、衛星鐘差、電離層和對流層折射、潮汐、相對論效應、軟件質量還有接收機內部噪聲等諸多因素的影響，其同步環閉合差從來不為“零”。眾所周知，對于同步基線向量b1、b2、…bm,如果不存在不全為0的數k1、k2、…km，使
k1b1+k2b2+…+kmbm=0

則稱b1、b2、…bm線性無關。同步環閉合差非零，即同步基線是線性無關的；亦即，同步網中不存在某條基線可以由其他基線線性表示，派生出來。從這個意義上界定，應該將每條同步基線作為獨立的基線對待［1］。

　　GPS零基線試驗，是將兩臺接收機通過功率分配器連接到同一副接收天線上進行差分定位測量，這種方法可用于檢定儀器標稱精度中的固定誤差影響［2］。GPS零基線網試驗，是將3臺或3臺以上接收機，通過“有源可調功率分配器”也是連接到同一副接收天線上，并由開關K控制(圖1)，確保觀測的同步，使經適當放大的信號供每臺接收機采集，經差分定位測量產生(1)/(2)(n2-n)條零基線組成同步網。這項試驗的特點如下：

　　1. 創造了理想的極限同步觀測條件，從而根除了接收機內部噪聲之外的其他誤差源的影響。

　　2. 基線長度的真值已知且等于0，是評定每條零基線質量唯一正確的標準。

　　3.  (n2-n)條零基線組成的同步網，可進行基線向量之間相關屬性的分析研究，其結論必定適用于GPS生產作業的一般觀測情況。

　　這種可以重復實現的零基線網試驗最初于1994年11月7日上午在武測4號樓頂進行的。使用3臺Trimble 4000 SST(其出廠序號分別為0527、0528、0530)，共用接收天線出廠序號為052，作業時間為10∶15～11∶15約1小時，可觀測到4、6、16、24、26、27等6顆星，衛星分布均勻，圖形狀況良好，PDOP<5(圖2)。試驗中開關K的使用是關鍵，首先用統一的參數對各接收機作初始化設置，并按圖1所示與共用天線等連接起來，各接收機經靜置和預熱一段時間進入等待接收信號狀態。此時，閉合K以保證GPS信號在同一時刻被每臺接收機采集；試驗準備結束時，先斷開K，使各接收機在同一時刻停止接收信號，然后再關閉這些接收機。由于各接收機時鐘的石英切片的差異會產生不同的寄生振蕩，各級電路中大量帶電微粒不規則運動也產生噪聲，特別是通過窄帶方式提取信號的鎖相環PLL、用于同步跟蹤的延遲鎖定環DLL及處理移相鍵控信號的科斯塔斯環的參數微小的不同，將產生不同的時延、附加頻移和附加相移。試驗過程中從接收機顯示屏上紀錄歷元的計數情況，可以辨別出0530、0528捕捉、跟蹤、鎖定衛星的響應能力優于同批出廠的0527。因此在測量中引入了誤差，而且這些誤差在理論上是不能也不必消除的，這就導致共天線同步觀測的3臺接收機各自獨立得到3套不同的未經任何事后處理的單點定位結果(表1)。

表1　共天線各接收機單點定位值
接收機號 B L 大地高/m
0527 30°31′41.11384″ 114°21′25.81887″ 26.6
0528 30°31′41.33706″ 114°21′25.51206″ 6.0
0530 30°31′41.47931″ 114°21′25.59971″ 23.4

　　用Trimble公司的GPS相對定位軟件進行解算，對于零基線宜選用單頻L1固定雙差解(表2)，其中rms和rdop值越小(小于百分之幾)，ratio值越大，則基線解越可靠。當ratio>3，基線解可靠；而ratio>8，基線的坐標增量也可靠。如表2所示，其ratio>100，坐標分量的精度均為1 mm。3條零基線長度均小于該儀器5 mm±1×10-6D標稱精度中的5 mm固定誤差，試驗是成功的。

表2　零基線固定雙差解

零基線號    零基線分量及其精度/mm  零基線長S/mm ratio  rdop/m/周  rms/周
         dx(σdx)  dy(σdy)  dz(σdz)    
b1 0527-0528 2(1)   -1(1)     0(1)  2.0         104.120  0.050     0.011
b2 0527-0530 -1(1)   0(1)     1(1)  1.3         105.420  0.050     0.011
b3 0528-0530 -2(1)   1(1)     1(1)  2.6         179.910  0.050     0.008

　　此次試驗的意義在于由3條零基線可以構成零基線同步網(圖3)，該網具有很強的非線性相關屬性。根據《全球定位系統測量規范》要求作同步觀測環檢核：

　　b1-b2+b3=(2　-1　0)-(-1　0　1)+(-2　1　1)＝(1　0　0)

　　檢核結果表明，這3條零基線組成的路徑長為5.9 mm的閉合環，其中 ，即同步零基線向量的線性組合是非零向量。它頑強地顯示了同步基線的線性無關性。因此，應充分發揮 (n2-n)條同步基線的潛能，不要僅局限在(n-1)條“獨立基線”上，造成不必要的浪費。

　　需要特別指明的是，假設共天線的若干接收機真的能夠采集到“絕對相同”的GPS信號，則不僅其零基線向量的任何一種線性組合不為零向量，而且每條零基線的長度不為零。但這一結論只能在實驗室計算機上采用模擬方法，并已經得到證實。某些所謂同步環閉合差主要反映了軟件系統不完善性的解釋，并沒有抓住事物非線性特征的本質。

　　與同步基線線性無關迥然不同的是同步環的線性相關性。GPS同步觀測環檢核是外業及時評估衛星原始數據質量的重要手段，《規范》為此作了明確的技術指標要求。可是有的學者認為，對于多邊同步環，如4站以上同步觀測一個時段，可以產生大量同步閉合環，在處理完各邊觀測值后，提出了應檢查“一切可能”的環閉合差。以圖4為例，A、B、C、D 4站應檢核：

　　(C1)　AB-BC-CA
　　(C2)　AC-CD-DA
　　(C3)　AB-BD-DA
　　(C4)　BC-CD-DB
　　(C5)　AB-BC-CD-DA
　　(C6)　AB-BD-DC-CA
　　(C7)　AD-DB-BC-CA

　　有些學者雖然發現同步環中超過三邊形同步環，都可由三邊形同步環組合得到，故可不重復檢核。但仍堅持同步時段中“任”一三邊同步環的坐標分量閉合差和全長相對閉合差按獨立環閉合差要求檢核的意見。

　　這些觀點缺乏對同步環間網絡拓撲特性的研究，給野外數據檢核增加了大量無意義的重復工作，因為上述“一切可能”的環或者“任”一三邊同步環之間都是線性相關的。如何確定用最少的獨立環就可描述GPS全網閉合回路結構的全部信息，才是應該討論的基本問題。

　如果n站同步觀測則產生 (n2-n)條同步基線，這種具有n個頂點，每對頂點間都有且只有一條基線向量相連的圖形稱為有向完全圖Kn。為了分析Kn的環結構，首先定義環矩陣C＝(cij)，其行表示環向量、列表示基線向量，式中
　　對于與圖4同構的有向完全圖K4(圖5)，其環矩陣 如下
從環矩陣 不難發現
c1+c2-c3-c4=(1　-1　　0　　1　　0　　0)+
　　　　　　(0　　1　-1　　0　　1　　0)-
　　　　　　(1　　0　-1　　0　　0　　1)-
　　　　　　(0　　0　　0　　1　　1　-1)＝
　　　　　　(0　　0　　0　　0　　0　　0)
　　即　c1+c2-c3＝c4
　　從圖5有向完全圖K4也能得到相同結果。

　　如圖6所示，由于c4中并未出現新的基線向量，都是使用c1、c2、c3已經使用過的基線，c4當然能由它們線性表示出來。因此，將“任”一三邊同步環閉合差要求檢核的觀點也是不妥的。

　　仔細研究環矩陣 ，發現其右上角存在一個3階單位陣，這是 中不等于零的最高階子式，C7×6的秩rank　 ＝3，同步環是線性相關的。其獨立的同步環只有3個，通過這3個獨立環的簡單線性組合就能派生出其余的同步環。但并不是任意3個同步環都是獨立的，它們不一定包括著Kn的全部環結構信息，如c1、c2、c5，c3、c4、c5,c1、c4、c6,c2、c4、c7……就不組成完備的獨立環。另外，即使是獨立的同步環，也有很多組，同一幅K4具有多達16組不同的獨立同步環(表3)。


　　因此，必須研究Kn的樹，樹是Kn的一個連通子圖，是聯接全部頂點所需要的最少(n-1)條基線向量的集合，它具有不含任何回路的特征。同一Kn有多達nn-2棵不同的樹，當n=3,4,5…，其樹迅速從3棵猛增至16棵(圖7)、125棵等［3］。環是構造一個閉合回路的基線向量的集合。一個Kn雖有許多的環，但這些環是線性相關，人們感興趣的是既彼此獨立又可由其線性表示其余環的那些完備的環。通常選Kn的某棵樹用于確定一組獨立環，因為樹具有所有頂點均被基線向量聯接，又不包括任何回路的拓撲特性，當每次再加進一條基線，便形成一個只包括該基線的回路。所以，建立在同步基線線性無關理論基礎上的獨立同步環的個數為： (n2-n)-(n-1)= (n2-3n+2)。當n=4，則獨立同步環的個數為3，這與前文對環矩陣C7×6的研究結論完全一致。

　　Kn的樹多達nn-2棵，特別是n>4時，樹的形狀千姿百態，但有一類星形樹不因n的多寡而異。這種星形樹只有n棵，它呈輻射狀，所有(n-1)條基線向量都交匯于一個頂點(見圖7第一行)。星形樹只要再增加一條基線，構成的閉合回路必定是三角形的網孔，它是含基線最少且路徑甚短的回路，通過這種星形樹——三角孔獨立同步環能夠作嚴格的檢核，從而可有效地反映采集
GPS數據的質量。下文實例告訴我們，某些包括過多基線和過長路徑的閉合環檢核雖然表面結果更好些，其實沒有任何新的內容。
　　武測校園GPS網始建于1994年秋，先后用多種接收機反復測量而建成，系標準的有向完全圖K4(圖8)。該網由1號樓、7號樓、圖書館、4號樓暨6條基線向量(表4)組成。現利用其中索佳GSS1A的一套數據，作星形樹——三角孔獨立同步環檢核及其同步環線性相關分析。選定A(1號樓)為頂點，并由b1、b2、b3構成星形樹，分別加進b4、b5、b6構成c1、c2、c3 3個三角網孔，根據表4提供的基線向量數據作閉合環檢核(表5)。顯然圖4中某些學者認為“一切可能”的環即c4、c5、c6、c7是不需要再作檢核了，如按表4可得

c4=b4+b5-b6=(25.8831　-216.7910　349.3721)+
(-207.8271　96.5239　-299.0064)-(-181.9443　
-120.2677　50.3634)＝(0.0003　0.0006　0.0023)
　　其實，由c1、c2、c3按表3第1組所列的線性組合，極容易地得到相同結果，即
　　c4＝c1+c2-c3=(0.0005　-0.0004　0.0033)+
(0.0005　-0.0004　-0.0019)-(0.0007　-0.0014
　-0.0009)＝(0.0003　0.0006　0.0023)

表4　武測GPS網同步基線一覽表
基線名 基線長/m dx/m dy/m dz/m
b1 A-B (1-7) 151.5 725 　　50.4 818 　85.6 514 -114.4 100
b2 A-C (1-圖) 279.7 046 76.3 644 -131.1 392 234.9 588
b3 A-D (1-4) 150.2 751 -131.4 632 -34.6 149 -64.0 457
b4 B-C (7-圖) 411.9 820 25.8 831 -216.7 910 349.3 721
b5 C-D (圖-4) 376.7 145 -207.8 271 96.5 239 -299.0 064
b6 B-D (7-4) 223.8 404 -181.9 443 -120.2 677 50.3 634


　　表5中c5、c6、c7的閉合差有的達到1/72萬，似乎高于由3條基線構成的回路。這實質上是由于它們包括了4條基線，路徑較長的緣故所致，GPS作業時進行環閉合差檢核應忌諱多基線長路徑的回路。因為c5、c6、c7同樣也可以由c1、c2、c3線性表示出來，所以這些檢核是無意義的重復。


表5　武測GPS網同步環檢核一覽表
閉合環名 坐標分量閉合差/mm 路徑長/m  

Σdx Σdy Σdz  
c1 AB-BC-CA 　0.5 　-0.4 　3.3 　843.2591 1/250854
c2 AC-CD-DA 0.5 -0.4 -1.9 806.6942 1/402342
c3 AB-BD-DA 0.7 -1.4 -0.9 525.6880 1/291152
c4 BC-CD-DB 0.3 0.6 2.3 1012.5369 1/422625
c5 AB-BC-CD-DA 1.0 -0.8 1.4 1090.5440 1/574767
c6 AB-BD-DC-CA 0.2 -1.0 1.0 1031.8320 1/722427
c7 AD-DB-BC-CA -0.2 1.0 4.2 1065.8021 1/246597

綜上所述，歸納兩點意見：

　　1. 通過共天線零基線網的極限試驗及人們的大量實踐，表明同步基線是線性無關的。此結論積極有益，可為發揮每條基線的作用提供理論依據。
　　2. 同步環是嚴格線性相關的，利用星形樹——三角孔新方法作同步環檢核簡捷易行。對于復雜的GPS網，也要遵循：獨立環數＝基線總數-測站總數+1的原則進行檢核。