摘要：根據量測向量中的粗差對狀態向量濾波值的影響規律(導出了抗差卡爾曼濾波模型(該模型對觀測空間和設計空間均具有良好的抗差性3通過對含有粗差的模擬.68監測網的計算(與標準卡爾曼濾波模型相比較(利用該抗差濾波模型(可獲得可靠的變形分析結果。

關鍵詞：抗差卡爾曼濾波；GPS監測網；等價增益矩陣；粗差；多余觀測分量

1 前言

5"年代初問世的卡爾曼濾波理論是一種對動態系統進行數據處理的有效方法(它利用觀測向量來估計隨時間不斷變化的狀態向量(從估計的角度來說(屬于7狀態8估計問題3由于其在對狀態向量進行估計時(不需要存儲大量的歷史觀測數據(利用新的觀測值(通過不斷的預測和修正(即可估計出系統新的狀態3因此卡爾曼濾波被廣泛地應用于各種動態測量系統中(如處理.68變形監測數據(進行.68實時動態定位等3但是(標準卡爾曼濾波理論(對動態系統提出了嚴格的要求(要求系統噪聲和觀測噪聲為零均值白噪聲3這一條件在實踐中難以滿足(致使濾波結果失真3因此(人們提出了克服這一缺陷的許多方法(如抗差濾波方法9#:;粗差探測方法9*:等3由非隨機誤差引起的模型誤差!也可采用文獻"#$中的方法加以解決!即首先識別模型誤差的類型!然后進行相應的補償。

在&’(監測網觀測過程中!由于受到周跳)(*政策)整周模糊度解算誤差及多路徑效應等的影響!致使根據相位觀測值解算的基線向量中含有粗差%當采用標準卡爾曼濾波結果進行變形分析時!由于觀測噪聲不再是零均值白噪聲!則導致變形分析結果的失真%本文針對這種情況+即認為動態系統的狀態方程是正確的!而量測方程存在模型誤差,!構造了一種抗差卡爾曼濾波模型!通過對模擬&’(監測網的數據處理!取得了良好的結果。

2 標準卡爾曼濾波模型

設&’(監測網由.個點組成!網中基線向量數為/%以&’(點在0&(123空間直角坐標系中的#維位置和#維速率為狀態向量%則該動態系統的狀態方程和量測方程為"3$
其中!45為5時刻的系統待估狀態向量!>5為5時刻系統的量測向量!95!5:7為5:7到5時刻的系統一步轉移矩陣!?5 為5時刻系統的量測矩陣!<5!5:7為系統噪聲矩陣!=5:7為5:7時刻的系統噪5時刻系統的量測噪聲%卡爾曼濾波的隨機模型為
其中!H=+5,稱為系統動態噪聲方差陣!稱為觀測噪聲方差陣!I5G為MNEOPDQPN函數。
標準卡爾曼濾波方程為式中!4"5R+5:7,$為一步預測值!HU"5R+5:7,$
為一步預測方差陣!S5為狀態增益矩陣!T5為預測殘差或信息%
可以看出!卡爾曼濾波方程是一組遞推公式!其計算過程是一個不斷預測)修正的過程%在求解狀態向量時!不需要保存大量的歷史觀測數據%按一定方法"3!$確定了系統的初始狀態后!即可根據濾波方程及新的量測向量求得新的狀態向量濾波值!這正適于處理多期重復觀測的&’(監測網的觀測數據!以對監測網進行變形分析。
3 抗差卡爾曼濾波模型

3.1 量測粗差對狀態向量的影響

標準的卡爾曼濾波模型!要求系統的動態噪聲和觀測噪聲為零均值白噪聲!但在實際應用中!這一條件難以滿足%本文僅討論量測方程中存在模型誤差的情況%如在&’(監測網的觀測過程中!如前所述!由于各種誤差的影響!致使量測值中含有粗差%此時若仍然采用標準卡爾曼濾波模型進行數據處理!則無疑會使變形分析結果失真。

對于&’(變形監測網!當觀測向量中含有粗差時!則系統的量測方程應為式中!a5為5時刻的粗差干擾矩陣!由元素C和7組成cb5為粗差向量%此時若仍然按標準濾波模型進行濾波!則含有粗差影響的預測殘差為由式+3,和式+6,可知!粗差在預測殘差中的反映程度!主要取決于位置參數初值的可靠性%根據卡爾曼濾波的特點!實際上取決于動態系統的初始狀態%一般而言!按文獻"3$)"$中的方法!可獲得動態系統可靠的初始狀態!此時粗差在預測殘差中得到了相當的反映。

將式+6,代入式+3W,的第一式!則狀態向量方程為即觀測向量中的粗差通過狀態增益矩陣S5影響到狀態向量濾波值%當已知量測向量>5中含有f個粗差時!則粗差對狀態向量的影響為+以下略去增益矩陣的下標5,若將上式變為則只要根據0+的大小來選擇合適的常數-#+1即可消除或削弱粗差對狀態向量的影響2實際上我們對粗差出現的位置和大小并不了解1即不能確定式$/’的具體形式2由于觀測向量中的粗差在預測殘差中得到了很大程度的反映1因此可根據標準卡爾曼濾波的預測殘差3%1將狀態向量"$%&%’的計算公式改化成式中1-#+為可變常數1據此即可消除或削弱量測向量中的粗差對狀態向量的影響。

3.2 抗差卡爾曼濾波模型

在式$>’中1可變常數-#+取決于兩種因素2其一是向量量測值的預測殘差3%B其二是增益矩陣C%2由于增益矩陣C%是由狀態向量的預測方差陣E4%&$%5,’6F觀測噪聲方差陣DG$%’和量測矩陣H%確定的1而DE4%&$%5,’6與第%期的觀測向量無關1因此C%主要由DG$%’和H%確定1即由IJK監測網的圖形結構和觀測精度確定2根據誤差可靠性理論1圖形結構和觀測精度可用網的多余觀測分量這個指標來表示2所以增益矩陣C%主由監測網的多余觀測分量L決定1即-#+又取決于多余觀測分量L+2若在設計階段已確定了監測網的結構和觀測方案1則多余觀測分量L+是可以計算出來的4M62從式$>’來看1若預測殘差中含有的粗差在不同的范圍內1則-#+的取值不同2當粗差大于某一限值時1應剔除該量測向量B當粗差較小時1即認為量測向量中僅含有偶然誤差時1則應保留該量測向量B否則降低量測向量對狀態向量的影響2這一區域1用參數%N和%,來表示2這樣-#+為:+FO+F%N和%,的函數1即則式$>’成為在式$,,’中1根據抗差估計理論1稱P$Q’C為等價增益矩陣1P$Q’+.#+為等價增益矩陣元素2因此抗差卡爾曼濾波模型的抗差效果1取決于等價增益矩陣2通過分析1構造如下的等價增益矩陣4R1/6
式中1%NF%,為抗差參數2%N稱為分位參數1取%N(;@^_8@^B%,稱為淘汰點1取%而式$,8’中1:+為量測向量+的預測殘差1O+為量測向量+的多余觀測分量1b+為量測向量+的方差2則式$,N’中的-#+為即-#+根據預測殘差:+和多余觀測分量O+取不同值1對觀測向量+或剔除不用1或降低其對狀態向量的影響1或完全利用該觀測向量。

由式$,;’和式$,8’計算的等價增益矩陣元素構成的等價增益矩陣1考慮到了預測殘差和監測網的多余觀測分量對狀態向量濾波估值的影響2從經典平差理論來看1即顧及到觀測空間和設計空間對參數估值的影響2因此本文構造的抗差卡爾曼濾波模型1對觀測空間和設計空間均具有良好的抗差作用。

采用抗差卡爾曼濾波模型獲取第%期監測網的狀態1需迭代求解2首先按式計算第*步迭代時的狀態向量的預測值及向量量測值的預測殘差1即將第$*5,’步狀態向量的抗差濾波值"%4$*5,’&$*5,’6作為第*步抗差濾波時狀態向量的預測值"%4*&$*5,’61并據此計算第*步的預測殘差B其次按式$,;’和式$,8’計算等價增益矩陣B第三步1按式計算第*步抗差濾波值2計算等價增益矩陣時1量測值的多余觀測分量L保持不變1可由%期監測網的結構和向量觀測值的協方差陣計算獲得2當狀態向量的濾波值和預測值之差小于迭代收斂精度時1則本期抗差濾波結束2在式$,^’中1當*(,時"%$N&N’是%期監測網標準卡爾曼濾波模型計算得的濾波值2這種迭代算法有助于加快迭代收斂速度2當抗差濾波結束后1按式計算本期抗差濾波的狀態向量方差陣2其中的等價增益矩陣是抗差濾波收斂時的結果
式#/1&中2!".$%#$)/&0為$)/期監測網進行卡爾曼濾波時系統的預測方差陣2按式#45&的第6式計算2而其中的!7#$)/&根據$)/期監測網濾波狀態參數#8維位置與速率&的協方差陣進行計算。

按上述步驟對下一期觀測數據進行抗差卡爾曼濾波處理3最后根據濾波結果2即可采用9檢驗法來檢驗:;<監測網在兩期觀測間監測點上是否發生了變形及變形值的大小.42=0。
4 算例

4.1 模擬數據
為考察本文所構造的抗差卡爾曼濾波模型的抗差效果2以某一實測/A點:;<網#8B條基線向量&為基礎2來模擬變形數據3該網經外業質量檢查及空間無約束平差2其質量合乎相應等級的精度要求2可認為基線向量中無粗差2作為:;<監測網的第一期成果3在第一期的平差坐標中2分別在4C/6C/4C/A等點上加入不同的變形值2然后重新計算基線向量2并在其中加入隨機誤差3這樣模擬了4期:;<監測網的觀測值3表/中列出6D4期:;<監測網的模擬變形值3這種方案稱為方案E。

在方案E的基礎上2在第8期和第4期網的模擬基線向量中2加入模擬粗差2與方案E的第/C6期觀測值一起構成方案]3所加粗差的位置及其大小見表6。

利用以上兩種方案的觀測值進行卡爾曼濾波時2由于第/期和第6期數據中不含粗差2因此根據文獻.40C.A0可由這兩期數據的經典平差成果獲得可靠的濾波初值3然后對8C4期模擬觀測值分別采用標準卡爾曼濾波模型和抗差卡爾曼濾波模型進行濾波2根據濾波結果進行變形分析2并將變形分析結果與模擬變形值進行比較2以考察抗差卡爾曼濾波模型的抗差效果。

在實際應用中2若不能肯定第/期和第6期數據中是否含有粗差2可采用基于標準化殘差的相關觀測抗差估計模型.10進行平差計算2此時仍可獲得該動態系統可靠的初始狀態。

4.2 計算結果
表8中列出了方案EC方案]分別采用標準卡爾曼濾波模型和抗差卡爾曼濾波模型#取抗差參數$B’8?A2$/’4?A&的計算結果所得變形值與模擬變形值之間最大差值的絕對值。

由表3可以看出：
1）若觀測值中無粗差#方案E&2當采用標準卡爾曼濾波模型時2計算變形值與模擬變形值間的最大差值小于/XX2平均在B?1XX以下g當采用抗差卡爾曼濾波模型時2計算變形值與模擬變形值相同3這說明本文構造的抗差濾波模型2符合抗差估計理論的第一個特點2即當觀測值服從正態分布時2抗差濾波模型的計算結果和標準濾波模型的計算結果是一致的。

2）若觀測值中含有粗差#方案$%&當采用標準卡爾曼濾波模型時&在模擬的變形點上&計算變形值與模擬變形值間的最大差值為’"!((&平均在!")((以上*同時在非變形點上&也檢測出了形變*可見&在觀測值中含有粗差的情況下&采用標準的卡爾曼濾波模型&則會導致變形分析結果的失真。

3）若觀測值中含有粗差#方案$%&當采用抗差卡爾曼濾波模型時&在模擬的變形點上&計算變形值與模擬變形值間的最大差值一般均小于,((&平均在-"’((以下.在非變形點上&未檢測出形變*這一結果和無粗差時標準卡爾曼模型的計算結果相近&即采用抗差卡爾曼濾波模型的計算結果所得的變形值是可靠的*這說明本文構造的抗差濾波模型&符合抗差估計理論的第二個特點&即當觀測值服從污染正態分布時&抗差濾波模型的計算結果&與觀測值服從正態分布時標準濾波模型的計算結果是一致的。

利用抗差卡爾曼濾波模型&還對其他模擬/01監測網數據進行了處理&所得結論與上述相同*總之&不論觀測值中是否含有粗差&采用本文構造的抗差濾波模型&均可獲得真實的變形值。

5 總結
卡爾曼濾波技術應用于/01變形監測數據處理中&可實時地獲得監測系統的當前狀態*由于卡爾曼濾波除了可掌握系統的當前狀態外&還可預測系統的未來&這對于變形監測網來說&也是一個重要的方面。

在/01監測網的數據采集過程中&由于各種因素的影響&致使基線向量中可能含有粗差*此時若采用標準卡爾曼濾波模型進行數據處理&則導致變形分析結果的失真*采用本文構造的抗差卡爾曼濾波模型進行數據處理&不論觀測值中是否含有粗差&變形分析結果與實際情況基本一致&對粗差的影響不敏感。

本文構造的抗差卡爾曼濾波模型&考慮到了預測殘差和監測網的多余觀測分量對狀態向量濾波估值的影響&從經典平差理論來看&即顧及到觀測空間和設計空間對參數估值的影響*因此本文構造的抗差卡爾曼濾波模型&對觀測空間和設計空間均具有良好的抗差作用。

在利用抗差卡爾曼濾波模型進行數據處理時&需要進行迭代計算*本文提供的迭代算法有助于加快迭代收斂速度。
本文構造的抗差卡爾曼濾波模型&未顧及到狀態方程中存在模型誤差的情況&這仍有待于進一步研究。