摘　要　鑒于我國(guó)中西部是多山地區(qū)，為滿足國(guó)家統(tǒng)一高程和山區(qū)建設(shè)的需要，本文提出了用GPS和測(cè)距三角高程的方法確定高程異常，再用地形數(shù)據(jù)推求重力異常垂直梯度，由此可以經(jīng)濟(jì)和快速地實(shí)現(xiàn)精化大地水準(zhǔn)面的目標(biāo)。這時(shí)邊遠(yuǎn)山區(qū)任意一點(diǎn)的精度可達(dá)30 cm。
關(guān)鍵詞　GPS　測(cè)距三角高程　重力異常垂直梯度　大地水準(zhǔn)面

1　引言
　　當(dāng)今，一些國(guó)家已對(duì)山區(qū)大地水準(zhǔn)面的精化做了許多工作，所用方法大多是地面重力和模型重力場(chǎng)、GPS水準(zhǔn)、天文水準(zhǔn)等，這些方法不一定完全適用于我國(guó)的原因是我國(guó)山區(qū)面積大，山地的海拔高，難以經(jīng)濟(jì)而有效地開展全面的重力測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量；另一方面，GPS在我國(guó)的使用已較為普遍，J2、T2、T3或全站式經(jīng)緯儀已大量存在(可能有不少閑置不用)，這種地面的經(jīng)緯儀或測(cè)距儀與空間技術(shù)的GPS相結(jié)合，用于高差的測(cè)量以及高程異常的測(cè)定問(wèn)題就可以更好地得到解決。由于高程異常就是似大地水準(zhǔn)面高，它不具有物理意義，也不能作為高程的起始面，以致人們注意到似大地水準(zhǔn)面與大地水準(zhǔn)面的區(qū)別。在山區(qū)似大地水準(zhǔn)面高(ζ)與大地水準(zhǔn)面高(N)的差別尤為明顯。到目前為止，一般人們只顧及(ζ-N)中高程的一次項(xiàng)改正，而沒有考慮到它的二次項(xiàng)改正。為此，本文提出用地形質(zhì)量推求重力異常的垂直梯度，這為順利進(jìn)行(ζ-N)中的二次項(xiàng)改正創(chuàng)造前提。關(guān)于二次項(xiàng)改正的公式，文獻(xiàn)［1］已作了推導(dǎo)，此處不作贅述。
　　
2　高程異常的確定
　　由于高程異常為大地高與正常高之差，它們分別由GPS和測(cè)距三角高程測(cè)得，為滿足所需精度，現(xiàn)對(duì)它們的測(cè)定誤差加以討論。
　　設(shè)大地高為H，正常高為h，則ζ=H-h　　(1)
　　可由GPS確定大地高，由于它所測(cè)得的是地心坐標(biāo)，即
式中：B、L為大地緯度和經(jīng)度，e為地球橢球偏心率，N′為卯酉圈上的曲率半徑，且
式中： ,a為地球赤道半徑，可取為6 378 135 m。
　　經(jīng)過(guò)各項(xiàng)改正和優(yōu)化設(shè)計(jì)后的GPS觀測(cè)精度現(xiàn)已大為提高［2］。如果取GPS的相對(duì)精度為5×10-8，實(shí)際有的已達(dá)到1×10-8 ［3］，設(shè)測(cè)點(diǎn)距人衛(wèi)激光測(cè)距(SLR)站為2 000 km,GPS點(diǎn)距為100 km，則相對(duì)于SLR站最遠(yuǎn)處的GPS點(diǎn)大地高的精度可達(dá)2.3 cm，連同SLR點(diǎn)的誤差，其總精度可達(dá)3 cm。現(xiàn)今布設(shè)的國(guó)家GPS A 級(jí)網(wǎng)任一點(diǎn)的精度已達(dá)到10 cm［4］，待該網(wǎng)與B級(jí)網(wǎng)聯(lián)合平差后，其精度將更有所提高，如此有可能使大地高(差)的精度達(dá)到10 cm(盡管垂直精度稍遜于水平精度)，用這些點(diǎn)與國(guó)家水準(zhǔn)網(wǎng)相聯(lián)，則其上高程異常的精度足以對(duì)山區(qū)任一點(diǎn)加以控制。
　　至于正常高的測(cè)定及其精度可由下式得到，對(duì)向觀測(cè)的測(cè)距三角高程所得的正常高高差(其中測(cè)距測(cè)角可用全站儀測(cè)得，測(cè)距亦可由GPS測(cè)得)：
式中： ,ΔE為正常高的重力改正項(xiàng)，S為i,j的點(diǎn)間距離，αij,αji為往返垂直角，ΔΚ為往返折光系數(shù)值，R為地球平均曲率半徑，ii,ij,Pi,Pj分別為兩測(cè)點(diǎn)的儀器高和覘標(biāo)高，Ui,Uj為兩點(diǎn)在觀測(cè)方向上的垂線偏差，Um為其在線路上的積分的平均值，ΔE為正常高的重力改正項(xiàng)。
　　由式(4)很容易推得正常高高差的中誤差的平方為
式中mα為垂直角觀測(cè)誤差，對(duì)于S為1.5 km，mα為1″，則上式中右邊第一項(xiàng)誤差m1＝±3.6 mm，第二項(xiàng)為距離引起的誤差m2＝±5.1 mm，第三項(xiàng)為折光引起的誤差m3＝±8.8 mm，第四項(xiàng)為測(cè)量?jī)x器高和覘牌高引起的誤差(m4)，取m4＝±1 mm，第五項(xiàng)為垂線偏差非線性引起的誤差(m5)，m5=±7.5 mm。此處折光系數(shù)誤差取為±0.1(似乎偏大)，據(jù)試驗(yàn)，在珠穆朗瑪峰附近的k值僅有0.080±0.005,其周日變化幅度Δk=0.01　［5］，垂線偏差非線性項(xiàng)的誤差為±1″，且可以限制重力項(xiàng)改正誤差m6≤±5 mm，如此，正常高高差的總誤差為±14.1 mm。顯而易見，在上列誤差中，折光的影響最大，它約占整個(gè)誤差的五分之四，其次是垂線偏差項(xiàng)的影響，因此在測(cè)距三角高程中研究折光系數(shù)及其誤差至為重要。關(guān)于折光和垂線偏差的影響等問(wèn)題，我們已在文獻(xiàn)［6，7］中加以討論。但不管怎樣，在山區(qū)用測(cè)距(GPS)三角高程完全可以達(dá)到三等水準(zhǔn)的精度要求［8］。需說(shuō)明的是，此處在用GPS測(cè)距時(shí)僅用廠家標(biāo)稱精度，即5mm+1×10-6D。
　　如果考慮到與國(guó)家GPS點(diǎn)相重合的水準(zhǔn)點(diǎn)的起始誤差為±15 cm,待求點(diǎn)與該點(diǎn)相距300 km，則對(duì)200個(gè)測(cè)段測(cè)距三角高程的累積誤差，應(yīng)為±19.9 cm，此時(shí)邊遠(yuǎn)山區(qū)待求點(diǎn)(測(cè)線終端)的正常高的誤差為(152+19.92)1/2＝±24.9 cm。若該(端)點(diǎn)與附近控制點(diǎn)進(jìn)行GPS高精度聯(lián)測(cè)，并可使大地高的精度達(dá)到15 cm,最終可算得高程異常的總誤差為(4.92+152)1/2＝±29.1 cm，這已經(jīng)等同于GPS水準(zhǔn)的精度［9］。
　　
3　(ξ-N)中的二次項(xiàng)改正
　　在一些高山地區(qū)尤其是在山項(xiàng)或山谷處，僅用如下的一次項(xiàng)改正公式是不能滿足精度要求的，這時(shí)
式中： 為從地球橢球到地球表面正常重力平均值，H為正常高，ΔgB為布格重力異常。對(duì)于顧及二次項(xiàng)的表達(dá)式為
式中 為空間重力異常的垂直梯度。從這里可以看出，欲求高程二次項(xiàng)改正的關(guān)鍵是要確定 。為此本文作如下討論。
　　眾所周知，山區(qū)的空間異常主要反映了地表處物質(zhì)界面(地形)的特性，它與起伏的地形相關(guān)得很好，兩者的相關(guān)系數(shù)在山區(qū)可達(dá)0.96～0.97　［10］。而空間異常的垂直梯度更反映了接近測(cè)點(diǎn)的起伏水平的地形特征，只是它的波長(zhǎng)比空間異常更短，它與局部地形效應(yīng)更為密切，因此我們可用地形數(shù)據(jù)(包括山巖密度)來(lái)推求。為便于誤差討論，以下將空間異常的相關(guān)系數(shù)(0.96)與1的差值(0.04)表示異常垂直梯度的代表誤差(相對(duì))。
　　設(shè)以計(jì)算點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取Z軸向下的坐標(biāo)系。對(duì)于實(shí)心圓柱和空心圓柱體引起的異常垂直梯度可分別用以下兩式表示［11］：
　　(8)
　　(9)
式中：G為引力常數(shù)，ρ為表層山巖密度，Z為測(cè)點(diǎn)距高為H的圓柱頂部中心的距離，R，R1，R2分別為圓柱的半徑及內(nèi)、外半徑。
　　依等影響原則可以對(duì)圓柱體進(jìn)行環(huán)帶的劃分，具體計(jì)算公式如下：
　　令
i=(1)/(2)(Ri+Ri-1)
　　Δri=Ri+1-Ri
　　Δri-1=Ri-Ri-1
　　從上式可以看出，若已知第一個(gè)環(huán)帶的內(nèi)外半徑，則第二個(gè)環(huán)帶的兩個(gè)半徑之差Δr即可求出。如第一個(gè)環(huán)帶的內(nèi)外半徑為R1＝30 m,R2＝90 m，由此可推出第二個(gè)環(huán)帶半徑Δr=214 m，依此可以類推出i=3,4，……的環(huán)帶半徑，當(dāng)推到i=9環(huán)帶后，相應(yīng)的外半徑為165 km，對(duì)于高度為4 km的空心圓柱，它對(duì)梯度的影響也只有8 ns-2。
　　對(duì)于地形高不精確引起的誤差
式中：mH為高程誤差，A為地面的傾角，R2為第二個(gè)環(huán)帶的半徑。
　　根據(jù)公式(8)，經(jīng)推導(dǎo)，可以求得因山巖密度不精確引起的誤差公式
式中mρ為選取山巖的密度誤差。
　　此外，我們還對(duì)地球曲率與略去遠(yuǎn)區(qū)域(計(jì)算是在有限范圍內(nèi)進(jìn)行)的影響進(jìn)行了估算，計(jì)算的結(jié)果表明：它們的影響較小，都可以忽略(詳見關(guān)于地形質(zhì)量確定異常垂直梯度的幾個(gè)問(wèn)題)。
　　根據(jù)以上分析，在略去地球曲率及遠(yuǎn)區(qū)域的影響后，用地形數(shù)據(jù)計(jì)算異常梯度的誤差包括有：代表誤差mr，高程和山巖密度不精確引起的誤差mH和mvp。因此對(duì)于異常梯度達(dá)到1 000 ns-2時(shí)的總的誤差如下：
　　從上面分析中可以看出，在用地形質(zhì)量作異常垂直梯度，它的代表誤差仍占重要部分，其相對(duì)誤差為5%，但當(dāng)該量小于600 ns-2時(shí)，高程的誤差則變?yōu)橹饕�部分，那時(shí)總的誤差MS將小于40 ns-2。這相當(dāng)于在1 m的高差內(nèi)以4×10-8 ns-2的精度作實(shí)際梯度的觀測(cè)，依目前情況看，兩者是很接近的。
　　根據(jù)以上方法，我們利用地形圖及巖石密度資料，對(duì)珠穆朗瑪峰和佘山分別進(jìn)行了異常梯度的計(jì)算，輔之以其它數(shù)據(jù)，確定的珠峰大地水準(zhǔn)面相對(duì)于WGS-84橢球?yàn)?30.36±0.28 m，高程為8847.82±0.28 m［12］。若不顧及異常垂直梯度的影響，將導(dǎo)致大的誤差。對(duì)于佘山，計(jì)算的異常梯度為924 ns-2，將它與正常重力垂直梯度3086 ns-2相加，則得4010 ns-2,此值與實(shí)測(cè)值3960 ns-2相差為50 ns-2。但這里包括了實(shí)測(cè)的與計(jì)算的誤差。事實(shí)上，在國(guó)家85重力網(wǎng)中，利用兩臺(tái)LCR-G型重力儀在佘山六次觀測(cè)的誤差為±30 ns-2。由于佘山的海拔僅為98 m，故異常梯度項(xiàng)對(duì)大地水準(zhǔn)面的改正很小，但這在我國(guó)西部特高山地區(qū)必須考慮，若在海拔為6 000 m的高山之巔，其上的異常梯度與佘山相同，則略去該項(xiàng)(見式(7))的影響將為3 m。另有意義的是，從該例說(shuō)明了用本文的方法計(jì)算得到的結(jié)果，與實(shí)測(cè)的很為接近。
　　順便指出，自1995年斯教伯格［1］提出并證明(ζ-N)中的二次項(xiàng)改正后，隨即引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。例如，1997年拉普指出［13］，關(guān)于該項(xiàng)有多大影響，這是有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。本文在此所作的介紹，正是我們?cè)谶@一問(wèn)題上的研究和進(jìn)展。
　　±40 ns-2空間異常垂直梯度的誤差，對(duì)于高程為5 000 m的高山，它給(ζ-N)帶來(lái)的影響為±0.051 m。若(ζ-N)第一項(xiàng)中的ΔgB的誤差為±5×10-8 ms-2，由此引起的誤差為±0.026 m。它們的總誤差為±0.057 m。在顧及用本文的方法測(cè)定高程異常的誤差±0.291 m后，則由ζ歸化到大地水準(zhǔn)面的誤差為 。這就是說(shuō)對(duì)于幅員廣大的我國(guó)的任何一點(diǎn)(包括山區(qū))，如采用本文的方法，大地水準(zhǔn)面的精度可達(dá)30 cm。
　　
4　結(jié)語(yǔ)
　　(1) 利用GPS測(cè)距三角高程，可以使我國(guó)中西部山區(qū)高程異常精度有大的提高，而且用這種方法施測(cè)要比GPS水準(zhǔn)和加密重力更為經(jīng)濟(jì)。
　　(2) 在由高程異常轉(zhuǎn)化為大地水面時(shí)，必須顧及空間異常垂直梯度的改正，因?yàn)樵谏絽^(qū)該項(xiàng)改正是相當(dāng)大的。
　　(3) 在山區(qū)尤其是高山地區(qū)，采用地形質(zhì)量計(jì)算異常垂直梯度是一個(gè)比較理想和實(shí)際可行的方法。
　　(4) 采用以上方法推求的我國(guó)邊遠(yuǎn)山區(qū)的任意一點(diǎn)大地水準(zhǔn)面的精度可達(dá)30 cm。

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